Penalaran

      A.    Latar Belakang

Matematika dikenal sebagai ilmu deduktif. Ini berarti proses pengerjaaan matematika harus bersifat deduktif. Matematika tidak menerima generalisasi berdasarkan pengamatan (induktif), tetapi harus berdasarkan pembuktian deduktif. Meskipun demikian untuk membantu pemikiran, pada tahap permulaan seringkali kita memerlukan bantuan contoh-contoh khusus atau ilustrasi geometris. Perlu pula diketahui bahwa baik isi maupun metode mencari kebenaran dalam matematika berbeda dengan ilmu pengetahuan alam, apalagi dengan ilmu pengetahuan umumnya. Metode mencari kebenaran yang dipakai oleh matematika adalah ilmu deduktif, sedangkan oleh ilmu pengetahuan alam adalah induktif/eksperimen. Namun dalam matematika, mencari kebenaran itu bisa dimulai dengan cara induktif, tetapi selanjutnya generalisasi yang benar untuk sebuah keadaan harus bisa dibuktikan secara deduktif. Dalam matematika, suatu generalisasi, sifat, teori atau dalil itu belum dapat diterima kebenarannya sebelum dapat dibuktikan secara deduktif.

Matematika mempunyai bahasa dan aturan yang terdefinisi dengan baik, penalaran yang jelas dan sistematik, dan struktur yang sangat kuat. Dengan berbagai keunggulan ini, matematika digunakan sebagai suatu cara pendekatan dalam mempelajari ilmu pengetahuan dan teknologi, dan dalam menyelesaikan masalah yang rumit. Matematika juga merupakan suatu alat bantu yang digunakan oleh para pakar dalam berbagai bidang disiplin ilmu. Dengan matematika, suatu masalah nyata dapat dilihat dalam suatu model yang strukturnya jelas, tepat, dan bentuknya kompak (singkat dan padat). Penalaran matematika adalah salah satu proses berpikir yang dilakukan dengan cara menarik suatu kesimpulan (Nurahman: 2011). Penalaran matematika merupakan hal yang sangat penting untuk mengetahui dan mengerjakan permmasalahan matematika.

Dalam dunia matematika diperlukan penalaran matematika seseorang guna memecahkan permasalahan yang dihadapi. Karena dalam penalaran terdapat tahapan yang logis serta sistematis jalannya proses berpikir. Proses berpikir yang diharapkan yaitu proses berpikir matematis. Proses berpikir matematis sendiri adalah suatu kejadian yang dialami seseorang ketika menerima respon sehingga menghasilkan kemampuan untuk menghubung-hubungkan sesuatu dengan sesuatu yang lainnya secara matematis untuk memecahkan/menjawab suatu persoalan atau permasalahan sehingga menghasilkan ide gagasan, pemecahan/jawaban yang logis.

      B.     Pengertian Penalaran

Istilah penalaran merupakan terjemahan dari kata reasoning yang artinya jalan pikiran seseorang. Penalaran merupakan tahapan berpikir matematik tingkat tinggi, mencakup kapasitas untuk berpikir secara logis dan sistematis.“Kemampuan bernalar memungkinkan peserta didik untuk dapat memecahkan permasalahan dalam kehidupannya, di dalam dan di luar sekolah” (Yaniawati:2010).

Penalaran yaitu proses berfikir yang bertolak dari pengamatan indera atau observasi empirik yang menghasilkan sejumlah pengertian dan proposisi sekaligus. Penalaran erat kaitannya dengan penyimpulan, argumen dan bukti. Penyimpulamn dalam arti yang sebenarnya tidak mencakup aktivitas menemukan proposisi-proposisi disusun dalam premis., akan tetapi hanya memakai hubungan proposisi-proposisi dalam premis dan menentukan konklusinya. Jika penalaran itu aktivitas pikiran yang abstrak, maka argumen lambangnya berbentuk bahasa atau bentuk-bentuk lambing lainnya. Jadi jika kata lambangny apengertian, kalimat lambangnya proposisi, maka argumen lambangnya penalaran. Akhirnya yang disebu bukti itu adalah argumen yang berhasil menentukan kebenaran konklusi premis. Penalaran dibagi menjadi dua jenis yaitu penalaran induktif dan penalaran deduktif.

Unsur utama dalam pekerjaan matematika adalah penalaran deduktif, yang bekerja dengan berbagai asumsi, tidak dengan pengamatan. Selain itu, matematika juga bekerja berdasarkan fakta dan fenomena yang muncul untuk sampai pada suatu perkiraan tertentu, yang dikenal sebagai penalaran induktif. Tetapi perkiraan yang diperoleh tidak dapat diterima begitu saja, harus diyakinkan kebenarannya atau dibuktikan secara deduktif dengan argument yang konsisten dan meyakinkan. Pekerjaan dalam matematika memerlukan kedua penalaran ini, baik induktif maupun deduktif.

Ciri-ciri Penalaran :

1.      Adanya suatu pola berpikir yang secara luas dapat disebut logika (penalaran merupakan suatu proses berpikir logis).

2.      Sifat analitik dari proses berpikir. Analisis pada hakikatnya merupakan suatu kegiatan berpikir berdasarkan langkah-langkah tertentu. Perasaan intuisi merupakan cara berpikir secara analitik.

Selanjutnya berdasarkan NCTM (Yaniawati: 2009) bahwa indikator penalaran matematika yaitu:

1.      Membuat dan menguji konjektur

2.      Merumuskan yang bukan contoh

3.      Mengikuti argument yang logis

4.      Mempertimbangkan validitas dari argument yang valid

5.      Mengontruksi argument yang valid

6.      Mengontruksi bukti-bukti untuk pernyataan matematik, termasuk bukti tidak langsung dan bukti dengan induksi matematik.

       C.    Jenis-jenis Penalaran

Secara umum, terdapat dua model penalaran matematika, yakni penalaran induktif dan penalaran deduktif.

1.      Penalaran Deduktif

Penalaran deduktif dikembangkan oleh Aristoteles, Thales, Pythagoras, dan para filsuf Yunani lainnya dari Periode Klasik (600-300 SM.). Aristoteles, misalnya, menceritakan bagaimana Thales menggunakan kecakapannya untuk mendeduksikan bahwa musim panen zaitun pada musim berikutnya akan sangat berlimpah. Karena itu ia membeli semua alat penggiling zaitun dan memperoleh keuntungan besar ketika panen zaitun yang melimpah itu benar-benar terjadi.

Penalaran deduktif adalah penalaran dari suatu fakta yang umum ke fakta yang spesifik. Dengan kata lain,  penalaran deduktif mencapai suatu kesimpulan spesifik berdasarkan suatu hal yang umum.Penalaran deduktif biasa digunakan untuk membuktikan suatu pernyataan baik berupa teorema matematika, argumen legal, atau teori saintifik. Penalaran deduktif membawa pada suatu pernyataan yang benar, diberikan premis‐premis bernilai benar. Penalaran deduktif tergantung pada premisnya. Artinya, premis yang salah mungkin akan membawa kita kepada hasil yang salah, dan premis yang tidak tepat juga akan menghasilkan kesimpulan yang tidak tepat. Selain itu, Penalaran deduktif memberlakukan prinsip-prinsip umum untuk mencapai kesimpulan-kesimpulan yang spesifik, sementara penalaran induktif menguji informasi yang spesifik, yang mungkin berupa banyak potongan informasi yang spesifik, untuk menarik suatu kesimpulan umu. Dengan memikirakan fenomena bagaimana apel jatuh dan bagaimana planet-planet bergerak, Isaac Newtonmenyimpulkan teori daya tarik. Pada abad ke-19, Adams dan LeVerrier menerapkan teori Newton (prinsip umum) untuk mendeduksikan keberadaan, massa, posisi, dan orbit Neptunus (kesimpulan-kesimpulan khusus) tentang gangguan (perturbasi) dalam orbit Uranus yang diamati (data spesifik).

Menurut Suherman (2001) bahwa matematika dikenal sebagai ilmu deduktif. Ini berarti proses pengerjaan matematik harus bersifat deduktif. Matematika tidak menerima generalisasi berdasarkan pengamatan (induktif), tetapi harus berdasarkan pembuktian deduktif. Meskipun demikian untuk membantu pemikiran, pada tahap-tahap permulaan seringkali kita memerlukan bantuan contoh-contoh khusus atau ilustrasi geometris.

Menurut Matlin (2009) bahwa penalaran deduktif berarti membuat beberapa kesimpulan logis  berdasarkan informasi yang diberikan. Salah satu jenis penalaran deduktif adalah penalaran kondisional. Masalah penalaran kondisional (penalaran proposisional) menginformasikan kepada kita mengenai keterkaitan antara dua kondisi. Berikut adalah contoh tugas penalaran kondisional.

Jika bulan bersinar, saya dapat melihat tanpa lampu senter

Saya tidak dapat melihat tanpa lampu senter

Jadi, bulan tidak bersinar.

Berikut contoh pembuktian yang berdasarkan penalaran deduktif,

Buktikan bahwa jumlah dua buah bilangan ganjil adalah bilangan genap

Andaikan m dan n adalah sembarang dua bilangan bulat, maka 2m+1 dan 2n+1 tentunya masing-masing merupakan bilangan ganjil. Jika kita jumlahkan:

(2m+1)+(2n+1) = 2(m+n+1)

Karena m dan n bilangan bulat, maka (m + n + 1) bilangan bulat, sehingga 2(m + n + 1) adalah bilangan genap. Jadi jumlah dua buah bilangan ganjil selalu genap.

 Menurut uraian di atas dapat disimpulkan bahwa penalaran deduktif yaitu pernalaran yang mengambil kesimpulan berdasarkan hal yang umum, yang telah dibuktikan terlebih dahulu.

Contoh klasik dari penalaran deduktif, yang diberikan oleh Aristoteles, ialah

Semua manusia fana (pasti akan mati). (premis mayor)

Sokrates adalah manusia. (premis minor)

Sokrates pasti (akan) mati. (kesimpulan)

contoh lain:

Premis 1 : Setiap mamalia punya sebuah jantung

Premis 2 : Semua kuda adalah mamalia

Konklusi : Setiap kuda punya sebuah jantung

Pembuktian melalui deduksi adalah sebuah jalan pemikiran yang menggunakan argumen-argumen deduktif untuk beralih dari premis-premis yang ada, yang dianggap benar, kepada kesimpulan-kesimpulan, yang mestinya benar apabila premis-premisnya benar. Pembuktian yang menggunakan penalaran deduktif biasanya menggunakan kalimat implikatif yang berupa pernyataan jika …, maka …. Kemudian, dikembangkan dengan menggunakan pola pikir yang disebut silogisme, yaitu sebuah argumen yang terdiri atas tiga bagian. Di dalamnya terdapat dua pernyataan yang benar (premis) yang menjadi dasar dari argument itu, dan sebuah kesimpulan (konklusi) dari argument tersebut. Di dalam logika, sebagai cabang (inti) matematika yang banyak membahas tentang silogisme terdapat beberapa aturan yang menyatakan apakah silogisme itu valid (sahih) atau tidak.

Untuk pembahasan deduktif secara terinci seperti yang dipahami dalam filsafat, lihat Logika. Untuk pembahasan teknis tentang deduksi seperti yang dipahami dalam matematika, lihat logika matematika.Penalaran deduktif seringkali dikontraskan dengan penalaran induktif, yang menggunakan sejumlah besar contoh partikulir lalu mengambil kesimpulan umum. Penalaran deduktif memberlakukan prinsip-prinsip umum untuk mencapai kesimpulan-kesimpulan yang spesifik, sementara penalaran induktif menguji informasi yang spesifik, yang mungkin berupa banyak potongan informasi yang spesifik, untuk menarik suatu kesimpulan umu. Dengan memikirakan fenomena bagaimana apel jatuh dan bagaimana planet-planet bergerak, Isaac Newton menyimpulkan teori daya tarik. Pada abad ke-19, Adams dan LeVerrier menerapkan teori Newton (prinsip umum) untuk mendeduksikan keberadaan, massa, posisi, dan orbit Neptunus (kesimpulan-kesimpulan khusus) tentang gangguan (perturbasi) dalam orbit Uranus yang diamati (data spesifik).

      2.      Penalaran Induktif

Penalaran induktif adalah suatu proses mencapai kesimpulan umum berdasarkan dari observasi. Penalaran induktif adalah tipe penalaran yang berawal dari sekumpulan contoh fakta spesifik menuju kesimpulan umum. Penalaran ini menggunakan premis dari objek yang diuji untuk menghasilkan kesimpulan tentang objek yang belum diuji. Contoh argumen induktif:

Premis 1 : Kuda Sumba punya sebuah jantung

Premis 2 : Kuda Australia punya sebuah jantung

Premis 3 : Kuda Amerika punya sebuah jantung

Premis 4 : Kuda Inggris punya sebuah jantung

Konklusi : Setiap kuda punya sebuah jantung

Pembuktian induktif, terkadang disebut logika induktif, adalah proses pembuktian dimana suatu argumen diduga mendukung kesimpulan tapi tidak bersinambungan dengannya; contoh: mereka tidak menjamin kebenaran itu. Induksi adalah bentuk pembuktian yang membuat generalisasi berdasarkan pendapat sesorang. Digunakan untuk menjelaskan properti atau relasi tipe berdasarkan sebuah observasi (contohnya, pada jumlah observasi atau pengalaman); atau untuk membuat hukum berdasarkan observasi terbatas dalam mempelajari alur fenomena. induksi ditetapkan, contohnya, dalam menggunakan preposisi spesifik seperti:

Es ini dingin. (atau: Semua es yang pernah kusentuh dingin.)

Bola biliar bergerak ketika didorong tongkat. (atau: Dari seratus bola biliar yang didorong tongkat, semuanya bergerak.)

untuk membedakan preposisi umum seperti:

Semua es dingin.

Semua bola biliar bergerak ketika didorong tongkat.

Contoh lainnya adalah: 3+5=8 dan delapan adalah angka genap. Sebuah angka ganjil yang ditambahkan dengan angka ganjil lain akan menghasilkan angka genap.

Perlu diingat bahwa induksi matematika bukanlah bentuk pembuktian induktif. Induksi matematika adalah bentuk dari pembuktian deduktif.

Berikut contoh pembuktian yang berdasarkan penalaran induktif,

Buktikan bahwa jumlah dua buah bilangan ganjil adalah bilangan genap

     +          1          -3         5          7

     1          2          -2         6          8

     -3         -2         -6         2          4

     5          6          2          10        12

     7          8          4          12        14

Dari tabel penjumlah ini, jelas bahwa setiap dua bilangan ganjil jika dijumlahkan hasilnya selalu genap. Dalam matematika tidak dibenarkan membuat generalisasi atau membuktikan dengan cara demikian. Walaupun anda menunjukkan sifat itu dengan mengambil beberapa contoh yang lebih banyak lagi, tetap kita tidak dibenarkan membuat generalisasi yang mengatakan bahwa jumlah dua bilangan ganjil adalah genap, sebelumnya kita membuktikannya secara deduktif.

Setelah kita menelaah contoh pembuktian secara induktif di atas telah terjadi proses berpikir yang berusaha menghubung-hubungkan suatu fakta atau konsep khusus yang sudah diketahuikepada suatu kesimpulan yang bersifat umum. Berdasarkan contoh di atas dapat disimpulkan bahwa penalara induktif adalah proses berpikir untuk menarik suatu kesimpulan atau membuat suatu pernyataan baru yang bersifat umum berdasarkan pada beberapa pernyataan khusus yang diketahui benar.

3.      Kelebihan dan Kekurangan Pembuktian Induktif dan Deduktif

Pada proses induksi atau penalaran induktif akan didapatkan suatu pernyataan baru yang bersifat umum (general) yang melebihi kasus- kasus khususnya (knowledge expanding), dan inilah yang diidentifikasi sebagai suatu kelebihan dari induksi jika dibandingkan dengan deduksi. Hal ini pulalah yang menjadi kelemahan deduksi. Pada penalaran deduktif, kesimpulannya tidak pernah melebihi premisnya. Inilah yang dianggap menjadi kekurangan pembuktian deduksi.

Perbedaan penalaran induktif dan penalaran deduktif :

Alternatif dari penalaran deduktif adalah penalaran induktif. Perbedaan dasar di antara keduanya dapat disimpulkan dari dinamika deduktif tengan progresi secara logis dari bukti-bukti umum kepada kebenaran atau kesimpulan yang khusus; sementara dengan induksi, dinamika logisnya justru sebaliknya. Penalaran induktif dimulai dengan pengamatan khusus yang diyakini sebagai model yang menunjukkan suatu kebenaran atau prinsip yang dianggap dapat berlaku secara umum.

Deduktif	Induktif
Jika semua premis benar maka kesimpulan pasti benar	Jika premis benar, kesimpulan mungkin benar, tapi tak pasti benar.
Semua informasi atau fakta pada kesimpulan sudah ada, sekurangnya secara implisit, dalam premis.	Kesimpulan memuat informasi yang tak ada, bahkan secara implisit, dalam premis.

Sumber:

Matlin, Margaret W. (2009). Cognitive Psychology Seventh Edition International Student Version. Printed In Asia: John Wiley & Sons, Inc.

Nurahman, Iman.. (2011). “Pembelajaran Kooperatif Tipe Team-Accelerated Instruction (TAI) Untuk Meningkatkan Kemampuan Penalaran dan Komunikasi Matematika Siswa SMP”. Pasundan Journal of Mathematics Education Jurnal. 1, (1), 96-130.

Suherman, Erman, dkk.. (2001). Strategi Pembelajaran Matematika Kontemporer. Bandung: JICA- Universitas Pendidikan Indonesia.

Yaniawati, R. Poppy. (2010). e-learning Alternatif Pembelajaran Kontemporer. Bandung: Arfino Raya.